635. 数学因自身蓬勃发展而面临诸多风险，如何从中脱困，此乃理论层面之问；而探寻途径，使学生能有效利用已积累之成果，并让学习者得以了解数学各领域现状，则为实际难题……大量数学文献虽多存于期刊与会刊中，但通过专着或高等教材，完全可使其比目前更实用、更易获取。整个学科因缺乏入门途径而受困，许多优美的数学分支被视为艰深且专业，仅因难以接触……我深切认为，由胜任者撰写的新学科导论，实为对整个科学的真正贡献。我国出版的优秀基础教材数量众多，更令人遗憾的是，面向进阶学生的教材竟如此之少。以高等教材为例，许多学科都深感其匮乏，我可提及去年出版的克里斯托尔教授《代数》第二部分，其篇幅虽小，却汇聚了大量有价值的基础知识——此前这些知识虽近在咫尺，普通学生却难以触及。我还想补充，任何专着或高等教材，若能引用原始文献，若可能，再附上简短历史说明，总归是好的。我确信，数学若试图脱离其历史，较之其他学科，损失将最为惨重。
——J.w.L.格莱舍《英国科学促进会A组主席演讲》（1890年）；《自然》第42卷，第466页
算学自因其蓬勃之态，罹于险厄，如何解困，此乃玄理之辩；而令学子得窥累世之成，晓诸科之状，实为实务之难。算学典籍，多藏于期刊会录，然若藉专着、精编教本，必可益彰其用，广开其途。今学科之蔽，在于门径壅塞，致使妙理幽微之学，世人以其难涉，目为艰深。吾深以为，硕学鸿儒作新科导论，实乃学界之幸。今观国中，初等教本颇丰，而进阶之籍寡见，诚为憾事。如去岁克氏《代数》下卷，篇幅简省，然奥理精要毕集，往昔学子难及之境，今豁然可通。再者，着书立说，宜引原典，若能附以史略，更善。算学离其史，则如木断其根，此理较他学尤甚。
——J.w.L.格莱舍《英吉利格物会甲部会长演辞》（1890年）；《自然》卷四十二，页四百六十六
636. 一门科学越是发展，就越能直接理解那些从前只能通过冗长中间推导才能证明的结果：除非达到这一目标，否则某一数学学科不能被视为最终完成。
——保罗·哥尔丹《二元型的型系》（莱比锡，1875年），第2页
科学愈进，则昔日需繁证之理，今可直解。若未至斯境，算学某科不得谓为圆成。
——保罗·哥尔丹
《二元型之型系》（莱比锡，1875年），页二
637. 一位法国老几何学家常说，一个数学理论永远不应被视为完整，除非你已将其阐述得足够清晰，能向街头遇到的第一个人解释清楚。
——h.J.S.史密斯《自然》第8卷（1873年），第452页
昔有法兰西几何宿儒云：算理之成，必至浅白，即便途遇路人，亦可立解，方得圆满。
——h.J.S.史密斯《自然》卷八（1873年），页四百五十二
638. 为理解并完全掌握算术概念与证明方法，高度抽象必不可少，这一条件有时被指责为算术的缺陷。我认为，所有其他知识领域都至少需要与数学同等程度的抽象——前提是，在这些领域中，对基础的考察也处处具备实际必要的严谨性与完整性。
——大卫·希尔伯特《代数数域理论》序言；《德国数学家协会年报》第4卷
欲通算术之理、精其证法，非极于抽象不可。世人或以此为病，然吾以为，诸般学问，若求根基坚牢、考据精严，皆需如算学之抽象，方得究竟。
——大卫·希尔伯特《代数数域论·序》；《德意志算学会年报》卷四
639. 现代数学严谨细致的精确性，对准确性而言必不可少，……对研究而言亦必不可少。它有助于思维清晰，有助于在尝试新的思想组合时富有成效。当初始陈述模糊草率时，在后续每一步思考中，都不得不依靠常识来限制应用并解释意义。而在创造性思维中，常识是糟糕的主人。其判断的唯一标准是新思想应形似旧思想，换言之，它只能通过压制原创性来起作用。
——A.N.怀特海《数学导论》（纽约，1911年），第157页
今世算学，务求精密，此非独为确证，亦为探新。精审则思理澄明，推陈出新乃得畅达。若立论之初，语意含混，则每至推演，必赖常理补阙，而常理之于创见，反成桎梏。盖常理之断，唯求新说类于旧论，此无异于伐异标新，实非治学之道。
——A.N.怀特海《算学导论》（纽约，1911年），页一百五十七
640. 数学家极为看重方法与成果的优雅性，此非浅尝辄止的玩味。究竟何为解答或证明中的优雅之感？是各部分的和谐、对称与恰如其分的平衡——简言之，是引入秩序、赋予统一，让我们既能清晰把握整体，又能即刻理解细节的一切。而这恰恰能催生重要成果：我们对整体的把握越清晰直观，就越能察觉其与邻近领域的相似性，进而更可能做出普适性的推论。优雅感可能源于不期而遇的概念碰撞——将习以为常的事物以意外方式联结，这种联结之所以富有成效，是因为它能揭示此前未被认知的内在关联。即便优雅仅体现为“方法简易”与“问题复杂”的反差，亦具启发性：它促使我们探寻反差背后的缘由，且常让我们发现其中并非偶然，而是蕴含着未被察觉的规律。总之，数学优雅感不过是解答契合心智需求时的满足感，而正是这种契合，使解答成为我们的研究工具。因此，这种审美满足与思维效率实乃一体两面。
——亨利·庞加莱《数学的未来》；《一元论者》第20卷，第80页[霍尔斯特译]
算家治学，素重法之精妙、果之雅正，此非玩物丧志之举。夫解证之雅，何由而生？盖在诸部谐和，对称得宜，权衡精妙。一言以蔽之，序立则体全，统贯则目张，既可总揽全局，复能细察毫末。而此正为成学之要：观之愈明，察类愈广，则推而广之之术愈精。雅者，或出于奇合，以不类相汇，遂启新境；或显于反差，以简易驭繁难，乃彰至理。凡此种种，皆足开蔽解惑，令学者悟非常之律。是以算学之雅，实乃心物相契之悦，其合于理者，必成治学之器。故审美之乐，终归于思之简也。
——庞加莱，亨利《算学之将来》；《一元论者》卷二十，页八十 [霍尔斯特译]
641. 成果的重要性多具相对性：不同人判断各异，亦随时代环境变迁。常有此类情形：某问题仅因解决过程艰难便被赋予重大意义；而若为求解需发明新方法、设计精妙技巧，科学由此获得的进步，或许远超成果本身的价值。总体而言，凡涉及本质重要事物的研究，具备高度普适性的研究，能从同一视角统合看似迥异的主题并使之简化明晰的研究，以及能衍生出丰富推论的研究，皆可称为重要。
——科拉迪·塞格雷《几何研究的近期趋势》；《数学评论》第1卷，第44页；《美国数学会公报》1904年，第444页[J.w.杨编]
学之成果，其重也，因时因人而异。昔有难题，以其艰深，世人竞逐；然若为破题而创术立巧，则所得之益，或胜于题解本身。大抵研关宏旨者，论涉通理者，能融异为同、化繁为简者，以及推衍无穷者，皆可谓重。
——塞格雷，科拉迪《近世几何研探之趋向》；《数学志》卷一，页四十四；《美邦算学会刊》，一九〇四年，页四百四十四 [杨，J.w.]
642. 不少几何着作中，既无新颖思想，亦无终能实用的成果，更无注定在科学中长存的价值——充斥其间的，或是关于琐碎问题的论述、对毫无实用与重要性的特殊形式的探究（其源头非科学本身，而是作者的主观臆想），或是对已知方法的重复应用（此类应用已逾千次），或是对已知结论的浅薄推广（只需知晓原结论即可轻易得出）。此类工作非但无用，实则有害：既为科学徒增负累，亦让严谨的研究者困扰；更常排挤本值得深究的思路。
——科拉迪·塞格雷
《论几何研究的近期趋势》；《数学评论》1891年，第43页；《美国数学会公报》1904年，第443页[J.w.杨编]。
今之几何着述，多有徒费笔墨者：既无新见，亦乏实用，更难垂范后世。或论细故，或究偏门，其源非出于学理，而系于作者私好；或袭旧法千篇一律，或泛推陈说了无新意。此等文字，非独无用，反为学累，徒扰深耕者之心，更阻精思妙想之萌，诚为学界之弊。
——塞格雷，科拉迪《论近世几何研探之趋向》；《数学志》，一八九一年，页四十三；《美邦算学会刊》，一九〇四年，页四百四十三 [杨，J.w.]
643. 现在的学生如果想研究几何学，却把它和分析学截然分开，不考虑分析学已经取得和正在取得的进展，那么不管他有多高的天赋，都永远成不了一个全面的几何学家。他不会拥有现代分析学交给现代几何学的那些强大的研究工具，也会对分析学家着作中可能隐含的许多几何成果一无所知。这样一来，他不仅在自己的研究中无法使用这些成果，还可能白费力气去自己发现，而且常常会把它们当作新发现发表出来，可实际上只是重新发现了而已。
——科拉迪·塞格雷《论几何研究的近期趋势》；《数学评论》1891年，第43页；《美国数学会公报》1904年，第443页[J.w.杨编]
今世习几何者，若强分畛域，摒弃分析之学，罔顾其既往与方今之进境，纵使天姿卓绝，终难臻几何奥境。彼不得执现代分析所授之利器，亦昧于分析诸家着述中隐伏之几何妙理。既不能取资于研究，复徒劳求索，甚或矜为创获而刊布，实则拾人牙慧耳。
——塞格雷，科拉迪《论近世几何研探之趋向》；《数学志》，一八九一年，第四十三页；《美邦算学会刊》，一九〇四年，第四百四十三页［杨，J.w.］
644. 研究可以从明确的问题开始，研究者认识到这些问题的重要性，并或多或少地全力直接寻求解决办法。但另一种研究方法同样合理：它只是选择研究的领域，和第一种方法相反，在寻找能够解决的问题时自由探索。不同的人对这两种方法的相对价值会有不同的看法。如果说第一种方法能让人更深入地钻研，它也很容易面临没有成果的风险。而第二种方法让我们得以开拓广大的新领域，这些领域里很多细节还需要用第一种方法来确定和探索。
——A.克莱布施《纪念朱利叶斯·普吕克》；《哥廷根论文集》第16卷（1871年），数学类，第6页
治学之道，或始于明辨之题，察其重且倾全力求解；或先择定畛域，漫然求索可破之题，二者皆为正途。世人对此二法，褒贬各异。前者虽可深入，然易陷涸泽之危；后者则拓新境，其细微之处，犹待以首法精研细究也。
——克莱布施，A.《怀朱利叶斯·普吕克》；《哥廷根文编》，第十六卷，一八七一年，数学部，第六页
645. 西尔维斯特在去世前几周和笔者的一次谈话中，觉得很有意思的是：尽管他一直认为自己的思维倾向更偏向分析学而非几何学，但几乎在每一个案例中，他发现一个分析问题的解决都依赖于某个非常简单的几何概念，而且只有能用几何语言来呈现论证，他才会感到满意。
——p.A.麦克马洪《伦敦皇家学会会报》第63卷，第17页
西尔维斯特临终数周，与吾谈及时，诧然叹曰：“吾素以为己性近分析而疏几何，然每遇分析难题，其解多系于简浅几何之念。非以几何之语陈其理，终难惬怀。”
——麦克马洪，p.A.《伦敦皇家学会会刊》，第六十三卷，第十七页